miércoles, 19 de enero de 2011

La Torre de Pisa y Galileo

La ciudad de Pisa ubicada en Italia, cuenta con una de las obras arquitectonicas más famosas del mundo. La torre de Pisa es el campanario de la catedral de la ciudad, fue construida entre los siglos XII y XIV DC, en un periodo aproximado de 200 años debido a que la obra fue dejada durante muchos años en más de una ocación. Inicialmente la torre fue construida para que permaneciera en posición vertical pero al tiempo se fue inclinando al punto de quedar con una inclinación de aproximadamente 4°. 

A traves de sus 8 siglos la torra a sobrevivido a diferentes conflictos y etapas que han amenazado con su existencia y su forma, como cuando Beinto Musolini mandó colocar la torre en posición vertical o  cuando el ejercitó de los Estados Unidos ordenó tumbarla durante la segunda guerra mundial. La ciudad de Pisa se encuentra cerca de la ciudad de Florencia, lugar donde nació uno de los científicos más prominentes de la historia de la humanidad, Galileo Galiei.

Matemático, físico, y astronomo, Galileo nació hacia el año 1564, fue hombre del renacimiento, simbolo de la revolución cientifica e impulsador del método científico. Sus aportes cientificos que cuestionaban los conocimientos de la época, que eran apoyados por la iglesia, y su idea de publicar obras en idiomas vulgares y no en latín (como era acostumbrado para que la pleve no tuviera acceso al conocimiento) le costaron un enfrentamiento con la inquisición. Esto a la larga lo obligarian a retractarse de sus descubrimientos y a pasar su vejez en una carcel, siendo este otro caso más de como crimen y religión se funden en una sola(ambas movidas de impulsos irracionales).

Galileo dedicaba la mayor parte de su tiempo a la investigación, pero tambien trabajaba como profesor en universidades.Fue su trabajo como profesor el que lo llevó a la ciudad de Pisa para ser catedrático de mátematicas, y fue durante su estadía que se creó una leyenda a la cual la torre Pisa debe la mayor parte de su fama. Esta leyenda cuenta que Galileo Galilei descubrió que todos los cuerpos caen a la tierra con la misma aceleración realizando un experimento en el que dejó caer dos cuerpos simultaneamente desde lo alto de la torre Pisa.Las reglas de la caida libre serián luego mejor entendidas con las investigaciones de Newton sobre la gravedad.

 También cuenta la leyenda que Galileo usaba su pulso para medir el tiempo que demoraba un cuerpo en caer, con este instrumento tan poco eficaz sin embargo Galileo pudo medir de forma muy aproximada el valor de la caida libre como 9,80 m/s^2. La cida libre en uno  de los pocos casos de aceleración constante ideal que hallamos en la naturaleza.

Ya que cumple con las reglas de la aceleración constante podemos hacer predicciones basandonos en unos pocos datos. Por ejemplo supongamos el siguiente problema; Un chico se encuentra de pie en el borde de un puente, 20 m por encima de un río, un tira una piedra hacia abajo y en línea recta, con una rapidez de 12 m/s. Después tira otra piedra hacia arriba y en vertical con la misma rapidez, que pasa por el borde del puente en su camino de retorno y cae en el río. Calcular para cada una de las piedras (a) la velocidad cuando llegan al agua, (b) la velocidad promedio durante su trayectoria:

(a) Para la primera piedra:

 df = 1/2at^2 + vit + di <ecuacion de la distancia final en función del tiempo>

0 =  5t^2 + 12t - 20 <reemplazamos y resolvemos como una ecuación cuadrática, tomamos a = 10>

t = (-12 +/- √(12^2 - 4*5*-20))/2*5

t = 1,13

vf = vi + at < y ahora que conocemos el tiempo resolvemos vf de la ecuacion de aceleración constante>

vf = 12 + 10^1,13

vf = 23,3 m/s

Para la segunda piedra:

t1 = (vf - vi)/a <resolvemos tiempo en la ecuación de la aceleración constante>

t1 =  -12/-10<hallamos tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima>

t1 = 1,2

df = 1/2at^2 + vit + di <distancia final con respecto al tiempo> 

df = - 5*1,44 + 14,4 + 20

df = 27,2 m

df = 1/2at^2 + vit + di <ecuacion de la distancia final en función del tiempo>

27,2 m = 1/2*10*t^2

27,2/5 = t^2

t = 2,33 s  aprox


vf = at + vi <definición velocidad inicial a partir de la ecuación de la aceleración constante>

vf = 10*2,33

vf = 23,3m/s


Nótese que la velocidad de la segunda piedra es igual a la velocidad de la primera. Cuando la segunda piedra esta cayendo y pasa por el punto inicial su velocidad es igual a la velocidad inicial pero en sentido contrario. Por eso a partir de ese punto el problema es conceptualmente el mismo que el de la primera piedra.

(b)  Para la primera piedra

v = d/t <velocidad constante igual a cambio de pocisión sobre tiempo total>

v = 20/1,13

v = 17,7 m/s

Para la segunda piedra:

v = d/t

v = 20/3,53

v= 5,67m/s


De esa forma como habiamos vito en el post anterior la velocidad constante nos permite hacer más predicciones gracias a sus propiedades constantes. Cuando Galileo experimento en la Torre Pisa vió que halló que dos cuerpos diferentes caian con la misma aceleración. Si cabemos que la torre de Pisa tiene una altura de 55,8 metros, podemos encontrar aproximadamente que tiempo midio Galileo con su  puslo cuando midió el tiempo en que tardaron los dos cuerpos que tocar el suelo:


df = 1/2at^2

t^2 = 11,16

t = 3,34 s 


De esa forma el tiempo que tarda en caer un cuerpo desde lo más alto de la torre de Pisa es de 3,34 segundos aproximádamente. Actualmente se creé que la leyenda es falsa, aunque de ser cierta teniendo en cuenta que Galileo medía el tiempo usando su pulso seguramente mi respuesta es mas exacta, dudo mucho que su pulso diera la respuesta en centecimas.

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