Velocidad relativa

Como ya hemos visto se necesita un sistema de referencia para construir las coordenadas, mientras desde la tierra los edificios permanecen en su posición, vistos desde el espacio los edificios estarían en constante movimiento dado por la rotación de la tierra sobre su propio eje y su rotación alrededor del sol, de igual forma en la tierra podemos observar casos similares donde podemos encontrar dos sistemas de coordenadas.

 Por ejemplo en un tren que se mueve a velocidad constante un pasajero tira un moneda al aire, que desde su perspectiva sube y cae verticalmente para volver a su mano, pero si un observador a un lado del tren  observara al pasajero tirar la moneda del aire, lo que vería desde este sistemas de coordenadas se parecería más a un proyectil lanzado hacia adelante y arriba. Para entender mejor la velocidad relativa resolvamos el siguiente ejercicio; ¿cuanto tiempo necesita un automóvil que viaja por el carril izquierdo a 60 km/h para rebasar a un coche que viaja por un carril derecho a 40 km/h, si las defensas frontales se encuentran inicialmente separadas por 100 m?:

vf = v1 - v2 <velocidad del sistema final igual a velocidad del sistema uno con respecto al sistema 2>

vf = 60 -(-40)

vf = 100 km/h

t = 0,1 /100

t = 0,001 h <lo convertimos a segundos>

t = 3,6 s

Si estuviéramos dormido en uno de estos automóviles y despertáramos de repente y viéramos al frente tendríamos la sensación  de que el automóvil adelante de nosotros se acerca a una velocidad de 100 kilómetros por hora. Y esto porque al despertar en principio no seriamos conscientes de que nos estamos moviendo en dirección del automóvil en frente, así como cuando despiertas y al mirar por la ventanas vez que todos los objetos se alejan de ti, en ese momento te has ubicado mentalmente en otro sistema de coordenadas.

Aceleración radial y tangencial en la Fórmula 1

La fórmula uno o f1 es la máxima categoría del automovilismo mundial, en donde compiten algunos de los mejores fabricantes del mundo como son ferrari, willians y renault. Los corredores compiten en monoplazas con la última tecnología disponible. La competición generá mucha pasión en todo el mundo, sus principales corredores se encuentran dentro de los deportistas más famosos y mejor pagados del mundo, y aunque pocos lo saben, también son de los deportistas con mejor condición física, muy comparable a la de los esquiadores o a la de los ciclistas profesionales.

 Los corredores requieren mucha fortaleza física para pisar el pedal o mover el volante cuando el auto está a 300 kilometros por hora, necesitan además reforzar los musculos del cuello para soportar mejor la fuerza centrífuga en las curvas El automovilismo es uno ejemplo de movimiento curvilineo, supongamos el sguiente caso; Un monoplaza de fórmula 1 reduce su velocidad a medida que recorre una curva estrecha, reduciendo de 75 m/s a 50 m/s en 2,5 segundos, que es el tiempo que tarda en tomar la curva. El radio de la curva es de 150 m. (a) Calcular la aceleración tangencial y la aceleración angular, y (b) alcular la distancia total recorrida durante la desaceleración

circunferencia = 942,48 m

(a)

velocidad angular inicial =  0,15 r/s <radianes sobre segundo>

velocidad angular final = 0,10 r/s

velocidad tangencial inicial = 22,5

velocidad tangencial final = 15 t/s <tangente sobre segundo>

aceleración angular = 0,10 - 0,15/2,5

aceleración angular = -0,2 r/s^2 

aceleración tangencial = 15 - 22,5/2,5

aceleración tangencial =  - 3 t/s^2

(b)

a = -10 m /s^2

df = 1/2at^2 + vit <ecuación de la distancia final>

df = -5*6,25 +  187,5

df = -31,25 + 187,5

df = 156,25 m

La órbita de la Luna

La Luna es el satélte más grande de la tierra, y es el más grande de la galaxia con respecto a su planeta, como veremos más adelante esto se da por su baja densidad. La órbita de la Luna es de baja excentricidad, o sea que tiene un baja desviación de la circunferencia, teniendo un recorrido casi completamente circular. La luna se encuentra aproximádamente a 3,84 x 10^8 m, o sea que su luz(reflejada del sol) tarda en llegar a la tierra 1,3 segundos. Si además tenemos en cuenta que tardá 27,3 en dar la vuelta a la tierra, podemos formularnos las siguientes preguntas; (a) cual es la rapidez orbital media de la luna y (b) cual es su aceleración centrípeta:

(a)


 r = d/t <ecuación de la rapidez>


d = 2Rπ <longitud del perimetro radial, donde R es radio>


d = 2(384.000)π


d = 2.412.748,8 km


r = 2.412.748,8/27,3


r = 88.379,08 km/d<y ahora lo pasamos a segundos>


r = 1,02 km/s


Asi pues su rapidez orbital media es de 1,02 kilometros sobre segundo.


(b)


Ac = v^2/R <ecuación de la aceleración centrípeta>


Ac = 1,02^2/384.000


Ac = 20.340,75 km/d^2




Lo iba a pasar a segundos pero da un número muy pequeño y tengo mucho sueño. Antes de irme nótese como las unidades dan efectivamente distancia sobre tiempo al cuadrado, no olviden revizar en cada ejercicio las unidades, a vecez puede ser la clave para hallar la solución.

El movimiento de un proyectíl

Cuando un objeto es lanzado al aire con una velocidad v inicial, su movimiento parabólico se puede separar en su componente horizontal y vertical. Por ejemplo cuando patea una pelota al airea su movimiento horizontal tiene una velocidad constante igual a su velocidad inicial  horizontal. En cambio su velocidad vertical se ve afectada por la grevedad sufriendo asi en el caso de la tierra una desaceleración contante de 9,8 m/s^2.

 Para entender mejor como funciona el movimiento de un proyectíl resolvamos un par de ejercicios; Un jugador de tenis se encuentra a 12,6 metros de la red cuando golpea la pelota con un angulo de 3° por encima de la horizontal. Para salvarse de la red la pelota debe elevarse al menos 0,33 metros. Si la pelota pasa justo por encima de la red en el momento mas alto de su trayectoria (a) ¿a que velocidad se movia la pelota al salír de su raqueta?. Un astronauta se encuentra en un planeta extraño y comprueba que puede saltar una distancia horizontal máxima de 15 metros. Si su rapidez inicial es de 3 m/s (b) ¿cual es la aceleración de caida libre en ese planeta?:

(a) dy = tanθ(dx) - g/(2v^2*coθ)dx^2 < distancia vertical en funcion de la distancia horizontal>

0.33 = tan3(12,6) - 9,8/(1,996v^2)12,6^2

v^2 = 2398,009 <resolvemos algebraicamente y despejamos velocidad>

v = 48,968 m/s

De esa forma la velocidad inicial es de 48,968 metros sobre segundo. 

(b) vi*cosθ = dx/t <ecuación de la velocidad horizontal>

2,121 = 15/t <tomamos θ como 45, que es el ángulo que maximiza el alcanze horizontal como ya demostramos en otro post>

t = 15/2,121

t = 7,072 s 

a = (vf - vi)/t 

a = -3(sen45)/3,536 <alcanzar la altura máxima demora t/2(también ya se demostró en otro post)>

a = -2,121/3,536

a = -0,6 m/s^2 aprox

Asi pues la gravedad en el misterioso planeta es de 0,6 metros sobre segundo al cuadrado.

El coyote y correcaminos

El coyote y el correcaminos, la tan conocida serie Estadounidense de la Warner Brothers sobre las desventuras de un pobre coyote que perseguía a un pájaro velosísimo por la carreteras de un desierto, fracasando en cada uno de sus planes y sufriendo los fallos de los productos marca acme. Es invetable para lo que vimos la serie no recordarla y pensar en el molesto bip-bip del pajaro que servia para poner nervioso al coyote y cualquiera. Esta vez resolveremos una ejercicio inspirado en la famosa serie.

Una vez mas el coyote persigue al escurridizo correcaminos. El coyote lleva un par de patines a reacción marca Acme que le proporcionan una aceleración horizontal constante de 20 m/s^2: el coyote se encuentra parado a 160 metros del borde de un precipicio en el momento en el que el correcaminos le adelanta en dirección al precipicio. (a) Si el correcaminos se mueve con rapidez constante determinar la rapidez mínima que debe alcanzar para llegar al precipicio antes que el coyote. Al borde del precipicio , el corre caminos se detiene y el coyote continua moviéndose en linea recta. Sus patines permanecen en pocisión horizontal y continuan funcionando mientras que se encuentra en el aire. (b) Si el precipicio está 125 metros por encima del suelo de un cañón determinar donde caera el coyote dentro del cañón. (c) Determinar la velocidad horizontal y vertical del coyote en el momento del impacto contra el suelo.

(a) df = 1/2at^2 + vit + di <ecuación de la distancia final en función del tiempo>

160 = 10t^2 

t = 4 s <tiempo que demora el coyote en llegar al borde del acantilado>

v = d/t <ecuación de la velocidad>

v = 160/4

v = 40 m/s <velocidad del correcaminos>

(b)  df = 1/2at^2 + vit + di <hallamos tiempo que tarda en llegar al suelo>

125 = 1/2(10)t^2 <tomamos g =10>

t = 5 s

df = 1/2at^2 + vit + di

df = 1/2(20)9^2

df = 810 m <recorrido horizontal total>

dp = 650 <recorrido horizontal desde el borde del precipicio>

bp = (650^2 + 125^2)^1/2 <distancia al borde del precipicio>

bp = 661,91 m aporx

(c) vf1 = at + vi <ecuación velocidad finalidad con respecto al tiempo>

vf1 = 20(9) <4 segundos antes de llegar al borde del precipicio y 5 degundos que tardá en llegar al suelo>

vf1 = 180m/s <velocidad horizontal final>

vf2 = at + vi

vf2 = 10(5)

vf2 = 50 m/s <velocidad vertical final>

vvf = (180^2 + 50^2)^1/2

vvf = 186,81 m/s aprox <valor vector velocidad final en el momento de llegar al suelo>

Aquí un video de la serie:

Pocisión, velocidad y aceleración

En esta entrada repaso nuevamente un tema que ya se habia visto varias vecez en las entradas anteriores, y es la relación que hay entre pocisión, velocidad y aceleración, y como comprender esta relación nos sirve para entender y resolver un problema de física. Como ya les habia  mostrado la velocidad es la derivada de la pocisión, asi supongamos que la posicion de un auto en movimiento esta dada en metros y definida por la ecuación x = 2t + 3, donde t está en segundo.  Lo que significa que la pocisión inicial del auto es 3 metros y este avanza 2 metros por segundo, de echo si derivamos podemos confirmar que v = 2m/s, o sea que la velocidad es constante y es de 2 metros por segundo.

 Ahora supongamos que la pocisión del auto esta dada por la ecuación x = 3t^2 + 5t + 2, si derivamos para hallar la velocidad tenemos que x = 6t + 5, o sea que la velocidad tiene un valor inicial de 5m/s y  por cada segundo cambia en 6m/s. Si derivamos esta segunda ecuación podemos hallar la aceleración del auto, a = 6, lo que significa que para el cuerpo la aceleración es contante y tiene un valor de 6m/s^2. 

Ahora veamos  como esto nos puede ayudar a resolver un ejecicio. Suponiendo que el vector pocisión de una partícula viene dado en función del tiempo por la expresión r = x + y; donde x = t + 1, y , y = 0,125t^2 + 1.  (a) Calcular la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 2 y t = 4. (b) determinar la velocidad y la aceleración en t = 2:

(a) v= r/t <definición de la velocidad promedio como cambio de pocisión sobre tiempo>

x(2)=  3

x(4) = 5

y(2) = 1,5

y(4) = 3 

r = √((5-3)^2 + (3 - 1,5)^2)<hallamos la hipotenusa para conocer el cambio de pocisión>

r = √(6,25)

r = 2,5

v = 2,5/2

v = 1,25m/s

(b) x = t + 1

x' = 1m/s <derivamos para hallar la velocidad en x>

y = 0,125t^2 + 1

y' = 0,250t <derivamos para hallar la velocidad en y>

x'(2) = 1

y'(2) =  0,5

vi(2) = √1,25m/s <velocidad instantánea en t=2>

x''= 0 <segunda derivada para hallar aceleración en x>

y''= 0,250 <segunda derivada para hallar aceleración en y>

ai(2) =0,250 <aceleración instantanea en t=2>

Julio Verne y el viaje a la luna

Julio Verne, escritor francés famoso por ser uno de los primeros escritores de ciencia ficción. Descatan de ellas además su enorme presición en algunas de sus predicciones. En una de sus obras, viaje a la luna, describe con bastantes detalles algnos de los retos e incomvenientes que hay para poder enviar una nave al satélite terrestre mas grnande. En la historia Verne describe a un grupo de militares estadounidenses retirados decide fabricar un cañon gigante para enviar un proyectíl a la luna.

En su historia propone lanzar una cápcula espacial con un cañón de 220 metros de longitud, con una velocidad de salida de 10,97 km/s, velocidad con la cual el proyectíl alcanzaría la luna. Como ya vimos en el post del coronel John Stapp, esta velocidad excesivamente alta mataría a cualquier tripulante. Pero a partir de su propuesta nos podemos hacer algunas preguntas como (a) que velocidad tendrá la cápsula cuando cruze completamente la torre y (b)  cuanto tiempo tardará en salir de la atmosfera terrestre(200 km aprox):

(a) vf = √(vi^2 - 2a(di-df))  <esta definición la deduje ayer, espero haberla deducido bien>


vf = √(120340900 - 4312)


vf =√(120336588)


vf = 10969,80


(b) df = 1/2at^2 +  vit + di <definición distancia final con respecto al tiempo>


0=  1/2at^2 +  vit + di - df


0=  -1/2*9.8t^2 +  10.970t - 200.000 <resolvemos tiempo usando la fórmula cuadrática>

t = 18,38 s

En la primera pregunta que nos hacemos vemos que la velocidad del cuerpo es practicamente la misma la momento decruzar completamente la torre, es más, con el segundo caso vemos que su desaceleración al momento de salir de la atomesfera sigue siendo mínima. Incluso en nuestros días seria imposible construir ese cañón, afortunadamente la ciencia a encontrado formas más eficientes de viajar al espacio que nos han permitido explorar la luna y otros cuerpos celestes.De echo más adelante veremos que las soluciones que dimos a estas dos preguntas son inexactas y se cumplen solo para un modelo ideal, pero eso será tema para otro momento.

La Torre de Pisa y Galileo

La ciudad de Pisa ubicada en Italia, cuenta con una de las obras arquitectonicas más famosas del mundo. La torre de Pisa es el campanario de la catedral de la ciudad, fue construida entre los siglos XII y XIV DC, en un periodo aproximado de 200 años debido a que la obra fue dejada durante muchos años en más de una ocación. Inicialmente la torre fue construida para que permaneciera en posición vertical pero al tiempo se fue inclinando al punto de quedar con una inclinación de aproximadamente 4°. 

A traves de sus 8 siglos la torra a sobrevivido a diferentes conflictos y etapas que han amenazado con su existencia y su forma, como cuando Beinto Musolini mandó colocar la torre en posición vertical o  cuando el ejercitó de los Estados Unidos ordenó tumbarla durante la segunda guerra mundial. La ciudad de Pisa se encuentra cerca de la ciudad de Florencia, lugar donde nació uno de los científicos más prominentes de la historia de la humanidad, Galileo Galiei.

Matemático, físico, y astronomo, Galileo nació hacia el año 1564, fue hombre del renacimiento, simbolo de la revolución cientifica e impulsador del método científico. Sus aportes cientificos que cuestionaban los conocimientos de la época, que eran apoyados por la iglesia, y su idea de publicar obras en idiomas vulgares y no en latín (como era acostumbrado para que la pleve no tuviera acceso al conocimiento) le costaron un enfrentamiento con la inquisición. Esto a la larga lo obligarian a retractarse de sus descubrimientos y a pasar su vejez en una carcel, siendo este otro caso más de como crimen y religión se funden en una sola(ambas movidas de impulsos irracionales).

Galileo dedicaba la mayor parte de su tiempo a la investigación, pero tambien trabajaba como profesor en universidades.Fue su trabajo como profesor el que lo llevó a la ciudad de Pisa para ser catedrático de mátematicas, y fue durante su estadía que se creó una leyenda a la cual la torre Pisa debe la mayor parte de su fama. Esta leyenda cuenta que Galileo Galilei descubrió que todos los cuerpos caen a la tierra con la misma aceleración realizando un experimento en el que dejó caer dos cuerpos simultaneamente desde lo alto de la torre Pisa.Las reglas de la caida libre serián luego mejor entendidas con las investigaciones de Newton sobre la gravedad.

 También cuenta la leyenda que Galileo usaba su pulso para medir el tiempo que demoraba un cuerpo en caer, con este instrumento tan poco eficaz sin embargo Galileo pudo medir de forma muy aproximada el valor de la caida libre como 9,80 m/s^2. La cida libre en uno  de los pocos casos de aceleración constante ideal que hallamos en la naturaleza.

Ya que cumple con las reglas de la aceleración constante podemos hacer predicciones basandonos en unos pocos datos. Por ejemplo supongamos el siguiente problema; Un chico se encuentra de pie en el borde de un puente, 20 m por encima de un río, un tira una piedra hacia abajo y en línea recta, con una rapidez de 12 m/s. Después tira otra piedra hacia arriba y en vertical con la misma rapidez, que pasa por el borde del puente en su camino de retorno y cae en el río. Calcular para cada una de las piedras (a) la velocidad cuando llegan al agua, (b) la velocidad promedio durante su trayectoria:

(a) Para la primera piedra:

 df = 1/2at^2 + vit + di <ecuacion de la distancia final en función del tiempo>

0 =  5t^2 + 12t - 20 <reemplazamos y resolvemos como una ecuación cuadrática, tomamos a = 10>

t = (-12 +/- √(12^2 - 4*5*-20))/2*5

t = 1,13

vf = vi + at < y ahora que conocemos el tiempo resolvemos vf de la ecuacion de aceleración constante>

vf = 12 + 10^1,13

vf = 23,3 m/s

Para la segunda piedra:

t1 = (vf - vi)/a <resolvemos tiempo en la ecuación de la aceleración constante>

t1 =  -12/-10<hallamos tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima>

t1 = 1,2

df = 1/2at^2 + vit + di <distancia final con respecto al tiempo> 

df = - 5*1,44 + 14,4 + 20

df = 27,2 m

df = 1/2at^2 + vit + di <ecuacion de la distancia final en función del tiempo>

27,2 m = 1/2*10*t^2

27,2/5 = t^2

t = 2,33 s  aprox

vf = at + vi <definición velocidad inicial a partir de la ecuación de la aceleración constante>

vf = 10*2,33

vf = 23,3m/s


Nótese que la velocidad de la segunda piedra es igual a la velocidad de la primera. Cuando la segunda piedra esta cayendo y pasa por el punto inicial su velocidad es igual a la velocidad inicial pero en sentido contrario. Por eso a partir de ese punto el problema es conceptualmente el mismo que el de la primera piedra.

(b)  Para la primera piedra

v = d/t <velocidad constante igual a cambio de pocisión sobre tiempo total>

v = 20/1,13

v = 17,7 m/s

Para la segunda piedra:

v = d/t

v = 20/3,53

v= 5,67m/s

De esa forma como habiamos vito en el post anterior la velocidad constante nos permite hacer más predicciones gracias a sus propiedades constantes. Cuando Galileo experimento en la Torre Pisa vió que halló que dos cuerpos diferentes caian con la misma aceleración. Si cabemos que la torre de Pisa tiene una altura de 55,8 metros, podemos encontrar aproximadamente que tiempo midio Galileo con su  puslo cuando midió el tiempo en que tardaron los dos cuerpos que tocar el suelo:

df = 1/2at^2

t^2 = 11,16

t = 3,34 s 

De esa forma el tiempo que tarda en caer un cuerpo desde lo más alto de la torre de Pisa es de 3,34 segundos aproximádamente. Actualmente se creé que la leyenda es falsa, aunque de ser cierta teniendo en cuenta que Galileo medía el tiempo usando su pulso seguramente mi respuesta es mas exacta, dudo mucho que su pulso diera la respuesta en centecimas.

John Stapp, el hombre más rápido de este planeta

No muchos hombres estarían dispuestos a ofrecerse como conejillo de indias y menos cuando saben que están poniendo en riesgo sus vidas. Uno de esos pocos valientes(¿o suicidas?) era el coronel John Stapp. Biofísico, médico y doctor en ciencias, el coronel Stapp de la fuerza aerea nortemaericana fue famoso por ofrecerse como voluntario para realizar pruebas de alta velocidad que posteriormente permitieron hacer avances en sistemas de seguridad en aviones de la fuerza aérea.

Entró a la fuerza aérea desde 1944(el muy listillo espero a que acabara la segunda guerra mundial para entrar al ejercito) hasta 1970(y se retiró en plena guerra de Vietnam), y durante ese tiempo participó voluntariamente en 29 experimentos de trineos impulsados por cohetes. En 1954, en su mas famosa hazaña, fue impulsado por un cohete a mas de 632 millas por hora. Sin embargo todos estos experimentos dejaron en Stapp un indeseable legado de problemas de salud y lesiones físicas. Murió en 1999 a la edad de 89 años.

Sus experimentos con propulsión por cohetes son un ejemplo perfecto de aceleración constante. La aceleración constante es la forma de aceleracion mas sencilla de explicar, sus propiedades son constantes y eso nos permite describir sus caracteristicas de forma mas simple y exacta. Así podemos hacer deducciones y predicciones más facilmente sabiendo que la aceleración de un cuerpo es constante.

Por ejemplo supongamos el siguiente ejercicio abstracto; un objeto que se mueve con aceleración uniforme tiene una velocidad de 12cm/s en la dirección del eje x positivo cuando su coordenada en el eje x es 3cm. Si 2 segundos mas tarde su coordenada en x es -5 cm ¿cuál es su aceleración?. Usando la ecuación de la distancia final en función del tiempo tenemos:

df = 1/2(at^2) + vi*t + di


-5 = 1/2(4a) + 24 + 3


-32 = 2a


a = -16cm/s^2


Así pues el cuerpo tiene una desaceleración de 16. John Stapp estableció una marca mundial de velocidad en tierra. El 19 de marzo de 1954, se montó en un asiento propulsado a reacción que efectuó un recorrido sobre rieles a una velocidad de 1011 km/h. Él y el asiento consiguieron detenerse de forma segura en 1.40 segundos. Con estos datos podemos determinar 2 cosas, (a) a que velocidad desaceleró el coronel Stapp y (b) que distancia recorrida durante la desaceleración.


(a) 


a = (vf - vi)/t <definición de la aceleración constante>


a = - 280/1,4


a = -200 m/s^2


(b)


df = di + vi*t + 1/2at^2


df =  280*1.4 + 1/2*(-200)*1,96


df = 390,2 - 190,6


df = 190,6 m




De esa forma el coronel desaceleró a 200 metros por segundo al cuadrado y durante su desaceleración recorrió  190,6 metros.

Aceleración

En la naturaleza no es muy común encontrar casos de velocidad constante, la interacción con otras fuerzas lleva cambios de velocidad en los cuerpos produciendo lo que se conoce como aceleración. La aceleración es un cambio de la velocidad a traves del tiempo. Cuando arranca tu coche o cuando estas frenando, o el caso ideal de la gravedad son ejemplos de aceleración en nuestra vida cotidiana.

La aceleración, al ser un tema mas complejo que el de la velocidad, nos introduce a varios temas y nos permite repasar temas anteriores. Pero para entenderlo vamos a resolver el siguiente problema de aceleración. Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo a la ecuación x(t) = 3t^2 + 2t + 3. Determinar (a) la rapidez promedio  entre t =2 y t = 3. (b) determinar la rapidez instantanea en t = 2  y  t = 3. La aceleración promedio entre t =2  y  t = 3, y la aceleración instantanea en t = 2  y  t = 3.

(a) r1 = rapidez promedio 

r1 = x/t <definición de la rapidez promedio>

distancia = x(t=3) - x(t=2)<hallamos la distancia recorrida entre t =2 y t = 3>

x(t=3) = 3t^2 + 2t + 3

x(t=3) = 3(3)^2 + 2(3) + 3

x(t=3) = 27 + 6 + 3

x(t=3) = 36 m

x(t=2) = 3t^2 + 2t + 3

x(t=2) = 3(2)^2 + 2(2) + 3

x(t=2) = 12 + 4 + 3

x(t=2) = 19 m

distancia = 17 m

r1 = 17m/s

(b) y1 = rapidez instantanea

y1 = 'x/'t< rapidez instantanea se define como la tangente de distancia sobre tiempo>

x = 3t^2 + 2t + 3

x' = 6t + 2

x'(t=2) = 6(2) + 2

x'(t=2) = 14 m

y1(t=2) = 14m/s

x'(t=3) = 6(3) + 2

x'(t=3) = 20m/s

y1(t=3) = 20m/s

(c) a = aceleración promedio

a = (v2 - v1)/(t1 - t2)<la aceleración promedio se define como el cambio total de velocidad sobre el tiempo>

a = 20 - 14<las velocidades en t=2 y t=3 fueron deducidas en el punto anterior>

a = 6m/s^2

(d) h1 = aceleración instantanea

a1 = 'y/'t< aceleración instantanea se define como la tangente de velocidad sobre tiempo>

y = 6t + 2

y' = 6

y'(t=2) = 6

y'(t=3) = 6

De tal forma que la aceleración de la partícula es constante.

El problema de la liebre y la tortuga

Seguimos resolviendo problemas de física, esta vez tenemos un problema inspirado en la famosa fábula atribuida a Esopo, famoso fabulista griego, y que tiene mas de 2500 años de antiguedad. en ella una liebre y una tortuga compiten por ver quien es mas veloz, rapidamente la liebre toma la delantera y coge una gran ventaja. En algún punto del recorrido viendo la enorme ventaja que ha sacado a su rival  la liebre decide tomar un descanso. Cuando se da cuenta la tortuga esta a punto de terminar la carrera así que prontamente decide retomar su camino a toda prisa pero ya es demasiado tarde.

El problema de física nos dice lo siguiente; una liebre y una tortuga compiten en una carrera de 100 metros de longitud, en línea recta. La tortuga se arrastró con un ritmo constante de 0.2 m/s hacia la linea de meta. La liebre corrió con rapidez máxima de 8 m/s hacia la meta durante 0.8 km y luego se detuvo para burlarse de la tortuga. ¿A que distancia de la meta dejo la liebre acercarse a la tortuga, antes de reanudar la carrera de tal forma que la tortuga terminó ganando por unos milímetros?, suponga que cuando se mueven, ambos animales se desplazan de forma constante a sus respectivas velocidades máximas. 

Nótese que el tiempo que tardan en terminarla competencia desde el momento en que la liebre reanuda la carrera es aproximádamente igual. Asi pues:

t1 = t2

d1/v1 = d2/v2

Siendo t1 el tiempo en que tarda la liebre en llegar a la meta desde que reanudo la carrera y t2 el tiempo de la tortuga. Como sabemos la velocidad de los dos animales y la distancia a la que se encuentra el conejo de la meta(200 metros) podemos reemplazar y hallar d2:

200/8 = d2/0.2

d2 = 5 mts

Asi pues la distancia a la que deja la liebre acercarsa a la tortuga antes de reanudar la carrera es aproximádamente de 5 metros. Esta historia nos enseña a que no debemos confuiar en nuestra intuición, la próxima vez que te quieras burlar de la tortuga no olvides lapiz y papel(una hermosa moraleja).

Velocidad instantanea

Cuando la velocidad no es constante la velocidad promedio surge de diferentes velocidades que tuvo la particula durante la trayectoria estudiada, por ejemplo si una carro avanza durante una hora en linea recta,  durante los primeros 20 minutos viaja a una velocidad constante de 30 km por hora, los siguientes 20 minutos se detiene y surante los ultimos 20 minutos viaja nuevamente a 30 km por hora. 

La velocidad promedio durante este recorrido seria de 20 km/h pero durante cualquier instante de los primeros 20 minutos la velocidad era de 30 km/h, luego cuando el carro se detuvo la velocidad en cualquier instante de esos segundos 20 minutos seria de 0 km/h, y esa velocidad que tiene na particula en un momento especifico del tiempo es a la que conocemos como velocidad instantanea.

 Nótese que la velocidad instantanea es la tangente de la distancia con respecto al tiempo. Así si en un punto dado la de la gráfica distancia con respecto al tiempo la tangente es 2 significa que la velocidad instantenea en ese punto es 2, resolvamos un ejercicio para entenderlo mejor:

La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x varía con el tiempo de acuerdo a la fórmula x = 3t^2 donde x está en metros y t  en segundos. Calcular su velocidad instantenea cuando t= 3.0 s:

x = 3t^2

x'(t=3) = 6t <derivamos para hallar la gráfica de las tangentes>

x' = 12 <reemplazamos para hallar la tangente en el punto señalado>

De esa forma obtenemos que la velocidad instantanea de la partícula en el instante t=3.0s es igual a v= 12m/s.

Velocidad promedio

Una de las confuciones más usuales entre novatos de la física es la diferencia entre velocidad y rapidez. Tengamos en cuenta que la velocidad es un vector, es decir que tiene dirección y magnitud. En cambio la rapidez es un escalar, o sea que solo tiene magnitud. Dicho en cristiano la velocidad tiene en cuenta la pocisión inicial y la pocisión final. Será mas facil de ilustrar con un ejercicio:

Un atleta en una pista circular de 400 metros tarda 80 segundos en hacer el recorrido completo. ¿cual fue su velocidad promedio y cual su rapidez promedio? como la pocision inicial y la pocision final son la misma desde el punto de vista de la velocidad la trayectoria echa por el atleta fue de 0, porlo tanto: 

velocidad promedio = 0/80

velocidad promedio = 0

rapidez promedio = 400/80

rapidez promedio = 5 

Ahora que comprendemos el concepto vamos a intentar un ejercicio un poco mas dificil. Un persona camina con rapidez constante v1 a lo largo de una linea recta que una a los puntos A y B, y luego vuelve recorriendo el mismo camino desde B hasta A con una rapidez constante v2. ¿cual es la velocidad promedio de todo el recorrido?¿y cual la rapidez promedio?:

Para velocidad ya sabemos que se tiene en cuenta la ubicación final y la ubicación inicial, como en este caso la persona termina en el mismo punto en el que comenzo la velocidad es 0.

Para hallar la rapidez promedio solo debemos recordar su definición, el problema nos dice que la persona recorre desde el punto A hasta el B y de este nuevamente al punto, y ambas trayectorias las hace en linea recta. Asi pues sabemos cual fue la distancia total recorrida, ahora necesitamos saber el tiempo total para deducir la rapidez promedio. Sabemos que el tiempo total es igual al tiempo que tarda en ir de A hasta B mas el tiempo que tarda en ir de B hasta A, asi pues:

rapidez promedio = 2(A-B)/(t1+t2)

t1 = (A-B)/v1

t2=(A-B)/v2

rapidez promedio = 2(A-B)/((A-B)/v1*(A-B)/v2)

rapidez promedio = 2(A-B)/((A-B)v2/v1v2*(A-B)v1/v2v1)

rapidez promedio = 2(A-B)v1v2/((A-B)(v1+v2))

rapidez promedio = 2*v1v2/(v1+v2)